Hoy acabo de conocer a algo muy fascinante: cuando duplicas la dimensión del sistema numérico (de \(\mathbb{R}\) reales 1D a \(\mathbb{C}\) complejos 2D, por ejemplo), las matemáticas siempre te piden un trade-off.
Primero definimos la noción del Cuerpo en el sentido matemático. Un cuerpo es un conjunto de números en que todo número tiene inverso (excepto el 0). El inverso es cualquier cosa con que multiplica y da 1. Por ejemplo el inverso de \(5\) es \(0.2=\frac{1}{5}\), con que \(5\cdot 0.2=1\). Además de esto, las multiplicaciones son asociativas (\(a\cdot (b \cdot c)=(a\cdot b) \cdot c\)), conmutativas (\(a\cdot b =b\cdot a\)). Definición formal (no hace falta entenderla):
Sea \((K,+,\cdot)\) un cuerpo. Por definición:
Y entonces tenemos que \(\mathbb{R}\) el conjunto de los reales es un cuerpo bien bonito. Duplicando la dimensión del \(\mathbb{R}\) (1D) tenemos \(\mathbb{C}\) el conjunto de los complejos (2D), que también es un cuerpo (pueden intentar comprobar las propiedades). Pero, ¡atención! Parece que es todo un paraíso el \(\mathbb{C}\) ya que extiende del \(\mathbb{R}\), ganamos una dimensión más y también obtenemos raíces de todos los polinomios, pero hemos perdido el \(\text{orden}\). En \(\mathbb{C}\) no puedes definir un orden total para decir, por ejemplo, \(i<1\) o \(-1>3i\), y está demostrado matemáticamente. Este es el trade-off en el paso de \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{C}\). Vamos a ver más trade-offs en el paso de \(\mathbb{C}\) complejos (2D) a \(\mathbb{H}\) cuaterniones (4D), de \(\mathbb{H}\) cuaterniones (4D) a \(\mathbb{O}\) octoniones (8D), y de \(\mathbb{O}\) octoniones (8D) a \(\mathbb{S}\) sedeniones (16D).
Recuerda que las pérdidas se derivan al duplicar las dimensiones. Es decir, si en 2D (complejos) no podemos definir un orden total, en 4D, 8D ni en más D tampoco.
Como mencionamos antes, perdemos la abilidad de definir un orden total para decir "quién es más grande que quién".
Los cuaterniones son una extensión de los complejos duplicando la dimensión (se dice que es una extensión simplemente porque contiene a los complejos). Como podemos observar, por ejemplo, \(ij=k=-ji\). Aunque todavía es un cuerpo (la inversa es siempre \(\frac{a-ib-jc-kd}{a^2+b^2+c^2+d^2}\)), ahora no está la conmutatividad, es decir, ahora para dos números cuaterniones \(\alpha\) y \(\beta\), \(\alpha\beta \neq \beta\alpha\).
Ahora usar la notación \(i,j,k,\dots\) ya es demasiado restringido. Usamos la notación \(e_1, e_2,\dots,e_7\).
I las reglas del producto vienen dadas por la siguiente tabla:
| × | 1 | e₁ | e₂ | e₃ | e₄ | e₅ | e₆ | e₇ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | e₁ | e₂ | e₃ | e₄ | e₅ | e₆ | e₇ |
| e₁ | e₁ | -1 | e₄ | e₇ | -e₂ | e₆ | -e₅ | -e₃ |
| e₂ | e₂ | -e₄ | -1 | e₅ | e₁ | -e₃ | e₇ | -e₆ |
| e₃ | e₃ | -e₇ | -e₅ | -1 | e₆ | e₂ | -e₄ | e₁ |
| e₄ | e₄ | e₂ | -e₁ | -e₆ | -1 | e₇ | e₃ | -e₅ |
| e₅ | e₅ | -e₆ | e₃ | -e₂ | -e₇ | -1 | e₁ | e₄ |
| e₆ | e₆ | e₅ | -e₇ | e₄ | -e₃ | -e₁ | -1 | e₂ |
| e₇ | e₇ | e₃ | e₆ | -e₁ | e₅ | -e₄ | -e₂ | -1 |
| (Fuente: Wikipedia) |
Esta vez, se puede observar que \((e_1e_2)e_3=e_4e_3=-e_6\) mientras que \(e_1(e_2e_3)=e_1e_5=e_6\). Ahora ni siquiera hablemos de conmutatividad, el producto ¡ni siquiera es asociativo! En general:
para \(\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{H}\), números octoniones. El orden de multiplicar importa.
Sedeniones. Ahora sí estamos demasiado lejos. Abajo tienes la tabla de multiplicación (qué elemental suena esta palabra) del álgebra Cayley-Dickson. La definición básica es la misma:
La tabla:
| × | 1 | e₁ | e₂ | e₃ | e₄ | e₅ | e₆ | e₇ | e₈ | e₉ | e₁₀ | e₁₁ | e₁₂ | e₁₃ | e₁₄ | e₁₅ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | e₁ | e₂ | e₃ | e₄ | e₅ | e₆ | e₇ | e₈ | e₉ | e₁₀ | e₁₁ | e₁₂ | e₁₃ | e₁₄ | e₁₅ |
| e₁ | e₁ | -1 | e₃ | -e₂ | e₅ | -e₄ | -e₇ | e₆ | e₉ | -e₈ | -e₁₁ | e₁₀ | -e₁₃ | e₁₂ | e₁₅ | -e₁₄ |
| e₂ | e₂ | -e₃ | -1 | e₁ | e₆ | e₇ | -e₄ | -e₅ | e₁₀ | e₁₁ | -e₈ | -e₉ | -e₁₄ | -e₁₅ | e₁₂ | e₁₃ |
| e₃ | e₃ | e₂ | -e₁ | -1 | e₇ | -e₆ | e₅ | -e₄ | e₁₁ | -e₁₀ | e₉ | -e₈ | -e₁₅ | e₁₄ | -e₁₃ | e₁₂ |
| e₄ | e₄ | -e₅ | -e₆ | -e₇ | -1 | e₁ | e₂ | e₃ | e₁₂ | e₁₃ | e₁₄ | e₁₅ | -e₈ | -e₉ | -e₁₀ | -e₁₁ |
| e₅ | e₅ | e₄ | -e₇ | e₆ | -e₁ | -1 | -e₃ | e₂ | e₁₃ | -e₁₂ | e₁₅ | -e₁₄ | e₉ | -e₈ | e₁₁ | -e₁₀ |
| e₆ | e₆ | e₇ | e₄ | -e₅ | -e₂ | e₃ | -1 | -e₁ | e₁₄ | -e₁₅ | -e₁₂ | e₁₃ | e₁₀ | -e₁₁ | -e₈ | e₉ |
| e₇ | e₇ | -e₆ | e₅ | e₄ | -e₃ | -e₂ | e₁ | -1 | e₁₅ | e₁₄ | -e₁₃ | -e₁₂ | e₁₁ | e₁₀ | -e₉ | -e₈ |
| e₈ | e₈ | -e₉ | -e₁₀ | -e₁₁ | -e₁₂ | -e₁₃ | -e₁₄ | -e₁₅ | -1 | e₁ | e₂ | e₃ | e₄ | e₅ | e₆ | e₇ |
| e₉ | e₉ | e₈ | -e₁₁ | e₁₀ | -e₁₃ | e₁₂ | e₁₅ | -e₁₄ | -e₁ | -1 | -e₃ | e₂ | -e₅ | e₄ | e₇ | -e₆ |
| e₁₀ | e₁₀ | e₁₁ | e₈ | -e₉ | -e₁₄ | -e₁₅ | e₁₂ | e₁₃ | -e₂ | e₃ | -1 | -e₁ | -e₆ | -e₇ | e₄ | e₅ |
| e₁₁ | e₁₁ | -e₁₀ | e₉ | e₈ | -e₁₅ | e₁₄ | -e₁₃ | e₁₂ | -e₃ | -e₂ | e₁ | -1 | -e₇ | e₆ | -e₅ | e₄ |
| e₁₂ | e₁₂ | e₁₃ | e₁₄ | e₁₅ | e₈ | -e₉ | -e₁₀ | -e₁₁ | -e₄ | e₅ | e₆ | e₇ | -1 | -e₁ | -e₂ | -e₃ |
| e₁₃ | e₁₃ | -e₁₂ | e₁₅ | -e₁₄ | e₉ | e₈ | e₁₁ | -e₁₀ | -e₅ | -e₄ | e₇ | -e₆ | e₁ | -1 | e₃ | -e₂ |
| e₁₄ | e₁₄ | -e₁₅ | -e₁₂ | e₁₃ | e₁₀ | -e₁₁ | e₈ | e₉ | -e₆ | -e₇ | -e₄ | e₅ | e₂ | -e₃ | -1 | e₁ |
| e₁₅ | e₁₅ | e₁₄ | -e₁₃ | -e₁₂ | e₁₁ | e₁₀ | -e₉ | e₈ | -e₇ | e₆ | -e₅ | -e₄ | e₃ | e₂ | -e₁ | -1 |
Hemos ido perdiendo propiedades, pero ¿parece que no hay más que poder perder no? Pues las mates sigue pidiéndote más...
Ahora aparecen los divisores de cero. Los divisores de cero son casos en que tienes un elemento no cero y otro elemento no cero pero si los multiplicas da cero.
Nosotros que venimos de los reales y los complejos, ahí nunca pasa esto, es decir, si \(a\cdot b=0\), hay que ser \(a=0\) o bien \(b=0\), mientras en el mundo de sedeniones, puede que ni \(a\) ni \(b\) sea \(0\). ¿Qué afecta esto? Imaginemos que tenemos una ecuación:
Si estamos en los reales o en los complejos, podemos decir:
Esto vale para reales, complejos, cuaterniones, octoniones, y no para sedeniones. Ahora es posible que tanto \(8x\neq 0\) como \(x-1 \neq 0\). No hay gran cosa que hacer ya.
Una analogía más simple es las matrices. Imaginemos los matrices cuadrados \(2\times 2\). Ahí el cero es la matriz \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), porque cualquiera matriz sumada con esta queda invariante. Ahora:
Así que en el conjunto de las matrices, en general, tampoco podemos resolver \(8x(x-1)=0\) fácilmente.
Además perdemos una propiedad que rara vez se menciona (es obviamente cierto en los reales y complejos, y también es cierto en cuaterniones y octoniones): alternatividad. Ahora \((\alpha\alpha)\beta\neq\alpha(\alpha\beta)\). Un ejemplo:
Además, perdemos una propiedad magnífica de las normas: \(|ab|\neq |a||b|\). De hecho, existe un teoría matemático, llamado Teorema de Hurwitz, que demuestra que las únicas extensiones que preservan esa propiedad, son exactamente los reales, complejos, cuaterniones y octoniones. No hay otra extensión que lo cumpla.
| Real \(\mathbb{R}\) | Complejo \(\mathbb{C}\) | Cuaternión \(\mathbb{H}\) | Octonión \(\mathbb{O}\) | Sedenión \(\mathbb{S}\) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Dimensión | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | |
| Alternatividad | \((\alpha\alpha)\beta=\alpha(\alpha\beta)\) | ✅ | ✅ | ✅ | ✅ | ❌ |
| Divisores de cero | \(\alpha,\beta\neq 0,\alpha\beta=0\) | ✅ No hay | ✅ No hay | ✅ No hay | ✅ No hay | ❌ Sí hay |
| Asociatividad | \((\alpha\beta)\gamma=\alpha(\beta\gamma)\) | ✅ | ✅ | ✅ | ❌ | ❌ |
| Conmutatividad | \(\alpha\beta=\beta\alpha\) | ✅ | ✅ | ❌ | ❌ | ❌ |
| Orden total | \(\alpha\leq\beta \text{ o } \beta\leq\alpha\) | ✅ | ❌ | ❌ | ❌ | ❌ |
| (Bonus) algebraicamente cerrado | Todo polinomio tiene ceros | ❌ | ✅ | ❌ | ❌ | ❌ |
El bonus es para balancear el hecho de que parecía que los Reales es el gran ganador de la liga (Funciones de Variable Compleja ha sido by far mi asignatura favorita, además de la topología).
Dentro de poco desarrollaré el sistema de interacción (comentarios, likes, dislikes, etc.) ¡para poder discutir de toda la belleza matemática con ustedes!
Time flies by as you're not taking action.
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